Positions relatives d'une droite et d'une courbe

Dans le plan muni d’un repère, on a tracé la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\)  d’une fonction \(f\)  définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) . On note \(f'\)  la dérivée de \(f\) .

On sait que la courbe \(\mathcal{C}_f\)  admet exactement deux tangentes horizontales :

• l’axe des abscisses comme tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\)  au point \(\text A(-1 ; 0)\) ,
• la droite \(\mathcal{T}_\text B\)  comme tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\)  au point \(\text B\left(\dfrac{1}{3}~;-\dfrac{32}{27}\right)\) .
  

1. Par lecture graphique, donner les solutions de l’équation \(f(x)=0\) .

La fonction \(f\)  est définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=x^3+x^2-x-1\) . On note \(f'\)  la dérivée de \(f\) .

2. Déterminer \(f'(x)\)  pour tout réel \(x\) .

3. En déduire le tableau de variations de \(f\) .

4. En utilisant ce qui précède, déterminer la position relative de la courbe \(\mathcal{C}_g\)  de la fonction \(g\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(g(x)=x^3+x^2\)  et de la droite  \(\mathcal{D}\) d’équation \(y=x+1\) .